差分矩阵

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例题:

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含整数n,m,q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。

输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

解题思路

前面我们学习了一维数组的差分；可知a[i]为b[i]的前缀和；
在二维矩阵中，前缀和公式为s[i][j] = a[i][j] + s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1]
故a[i][j] = b[i][j] + a[i][j - 1] + a[i - 1][j] - a[i - 1][j - 1]
b[i][j] = a[i][j] + a[i - 1][j - 1] - a[i][j - 1] - a[i - 1][j]
可知b[i][j]就是原数组中对角线之差；
由于b矩阵为前缀和(累加得来)；
故：
要使矩阵中的值不变，只需要将四个角的值更改即可；
列：使左上角，右下角分别+c，左下角，右上角分别-c;所以矩阵中的值不变；

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3 +10;
int a[N][N],b[N][N];
void inser(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
    int n,m,q;
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            cin>>a[i][j];
            inser(i,j,i,j,a[i][j]);
        }
    }
    while(q--){
        int x1,x2,y1,y2,c;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
        inser(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            b[i][j] += b[i-1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
        }
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            cout<<b[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }


    //cout << "Hello world!" << endl;
    return 0;
}